Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+$\frac{5}{6}$x+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过点B作x轴的垂线、过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D．
（1）求此抛物线的对称轴；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上？
（3）是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、C两点坐标代入抛物线y=ax²+$\frac{5}{6}$x+c，运用待定系数法即可求得解析式，然后根据对称轴公式求得即可；
（2）先求得M的坐标，进而求出点D的坐标，然后将D（t+2，4）代入（1）中求出的抛物线的解析式，即可求出t的值；
（3）由于t=8时，点B与点D重合，△ABD不存在，所以分0＜t＜8和t＞8两种情况进行讨论，在每一种情况下，当以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似时，又分两种情况：△BEP∽△ADB与△PEB∽△ADB，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求解即可．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{64a+\frac{20}{3}+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4，它的对称轴为：x=-$\frac{\frac{5}{6}}{2×（-\frac{1}{6}）}$=$\frac{5}{2}$，
（2）由题意得：M（$\frac{t}{2}$，2），（t＞0）．
PB是PM绕点P顺时针旋转90°而得，∴E（t+2，0），b（t+2，$\frac{1}{2}$t）．
从而有D（t+2，4）．
假设D（t+2，4）在抛物线上，有-$\frac{1}{6}$（t+2）²+$\frac{5}{6}$（t+2）+4=4，
解得 t=3或t=-2  
∵t＞0，
∴t=3，即当t=3时，点D落在抛物线上．

（3）①当0＜t＜8时，如图1，
BE=$\frac{t}{2}$，PE=2，BD=4-$\frac{t}{2}$，AD=t+2，
若△BEP∽△ADB，
此时∠PBE=∠BAD，∠D=∠E，有：
$\frac{PE}{BE}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{2}{\frac{t}{2}}$=$\frac{4-\frac{t}{2}}{t+2}$，
化简得t²=-16，此时t无解．                              
若△PEB∽△ADB，此时∠BPE=∠BAD，∠D=∠E，有：
$\frac{BE}{PE}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{\frac{t}{2}}{2}$=$\frac{4-\frac{t}{2}}{t+2}$，化简得：t²+4t-16=0，
解得：t=-2±2$\sqrt{5}$．
∵t＞0，
∴t=-2+2$\sqrt{5}$．                        
②当t＞8时，如图2，若△POA∽△ADB
BE=$\frac{t}{2}$，PE=2，BD=$\frac{t}{2}$-4，AD=t+2，
若△BEP∽△ADB，
此时∠PBE=∠BAD，∠D=∠E，有：$\frac{PE}{BE}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{2}{\frac{t}{2}}$=$\frac{\frac{t}{2}-4}{t+2}$，
化简得t²-16t-16=0，
解得t=8±4$\sqrt{5}$（负根舍去）．                       
若△PEB∽△ADB，同理得此时t无解．
综合上述：当t=-2+2$\sqrt{5}$、t=8+4$\sqrt{5}$时，以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，综合性较强，难度较大．由相似三角形的判定与性质求出点D的坐标是解决（2）小题的关键；进行分类讨论是解决（3）小题的关键；