Question

19．如图，矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，过O作EF⊥AC，分别交AB、DC于E、F，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 连接EC，设AE=EC=x，在RT△ECB中，求出EC，再在RT△ECO中求出EO，再利用全等三角形证明OE=OF即可解决问题．

解答 解：连接EC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，∵AB=4，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AO=OC，EF⊥AC，
∴EA=EC，设EA=EC=x，在RT△ECB中，∵EC²=EB²+BC²，
∴x²=2²+（4-x）²，
∴x=2.5，
在RT△EOC中，OE=$\sqrt{E{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
在△OCF和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCF=∠OAE}\\{OC=OA}\\{∠FOC=∠AOE}\end{array}\right.$，
∴△OCF≌△OAE，
∴OF=OE，
∴EF=2OE=$\sqrt{5}$，
故答案为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是利用勾股定理求出EC的长，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．