Question

4．已知△ABC和△DCE是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，AE与CD，BD分别交于点F、G．连接GF．下列结论：①AE=BD②AG=DF③GF∥BE④CF=GF其中正确的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质，利用SAS证明△BCD≌△ACE，则AE=BD；
（2）证明△DGC≌△EFC，得△GFC是等边三角形，则CF=FG，∠GFC=60°，根据∠GFC=∠DCE=60°，所以GF∥BE；
（3）由CG=CF，AC≠DC，可知：AC-CG≠DC-CF，即AG≠DF．

解答 解：（1）∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，
故①正确；
（2）∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACD=∠DCE=60°，
由①得△BCD≌△ACE，
∴∠GDC=∠AEC，
∵DC=EC，
∴△DGC≌△EFC，
∴CF=CG，
∴△GFC是等边三角形，
∴CF=FG，∠GFC=60°，
∴∠GFC=∠DCE=60°，
∴GF∥BE，
故③④正确；
（3）∵CG=CF，
而AC与CD不相等，
所以AG与DF不相等，
故②不正确；
正确的有：①③④，一共3个，
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定，属于常考题型，难度适中；准确地在图形中找到全等三角形并进行证明是本题的关键．