Question

9．如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=24，AC=16，点P从点B出发，沿BA边以4m/秒的速度移动到点A；点Q从点C出发，沿CA边以2/秒的速度向点A移动．P、Q两点同时出发，设运动的时间为t秒．
（1）已知QD⊥AB，垂足为D．
①用t的代数式表示QD=（8-t）m；
②求出△APQ的面积y与t的函数关系式，当△APQ的面积是△ABC面积的一半时，求t的值；
（2）当以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）①由Q的运动速度可求出t时间内Q运动的路程，进而求出AQ的长，再根据在直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半即可求出QD的长度；
②连接PQ，过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE=$\frac{1}{2}$AC=8m，依题意得：BP=4tm，AP=（24-4t）m，根据三角形的面积即可得到y=4t²-56t+192，当S_△APQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC时，即$\frac{1}{2}$AP×DQ=$\frac{1}{2}$×AB×CE，进而求出符合题意的t值；
（2）当以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）时，则△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出符合题意的t值．

解答 解：（1）∵点Q从点C出发，沿CA边以2m/秒的速度向点A移动，
∴t时的运动路程为2t，
∴CQ=2tcm，
∴AQ=AC-CQ=（16-2t）m，
∵∠A=30°，QD⊥AB，垂足为D，
∴QD=$\frac{1}{2}$AQ=（8-t）m；
故答案为：（8-t）；

（2）连接PQ，过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE=$\frac{1}{2}$AC=8m，
依题意得：BP=4tm，AP=（24-4t）m，CQ=2t，AQ=16-2t，
∴DQ=$\frac{1}{2}$AQ=$\frac{1}{2}$（16-2t），
∴y=$\frac{1}{2}$AP•DQ=$\frac{1}{2}$（24-4t）（16-2t），
即：y=4t²-56t+192，
当S_△APQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC时，
$\frac{1}{2}$AP×DQ=$\frac{1}{2}$×AB×CE，
$\frac{1}{2}$（24-t）（8-t）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×24×8，
整理得，t²-14t+24=0，
解得：t₁=2，t₂=12，（不合题意，舍去），
即当t=2时，△APQ的面积是△ABC面积的一半；

（3）当△APQ∽△ABC时，则有$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
即：$\frac{16-2t}{16}$=$\frac{24-4t}{24}$，
解得：t=0（不合题意，舍去）；
当△APQ∽△ACB时，则有$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$，
即：$\frac{16-2t}{24}$=$\frac{24-4t}{16}$，
解得t=5，
综上所述：t=5时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）．

点评 本题考查了和几何图形有关的运动问题、直角三角形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的判定和性质以及分类讨论的数学思想的运用，题目很好的考查了学生综合解题的能力，题目难度中等．