Question

如图，已知△OAB的顶点A（﹣6，0），B（0，2），O是坐标原点，将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．

（1）写出C，D两点的坐标；
（2）求过A，D，C三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标；
（3）证明AB⊥BE．

Answer 1

（1）C（2，0），D（0，6）；（2），顶点E的坐标是（-2，8）；（3）详见解析.

试题分析：本题考查了旋转的性质，二次函数的解析式及顶点坐标的求法，勾股定理的逆定理，综合性较强，难度不大．运用待定系数法求二次函数的解析式是中考的常考点，需熟练掌握，解题时根据条件设出适当的解析式，能使计算简便．（1）根据旋转的性质，可得OC=OB，OD=OA，进而可得C、D两点的坐标；
（2）由于抛物线过点A（-6，0），C（2，0），所以设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x-2）（a≠0），再将D（0，6）代入，求出a的值，得出抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点E的坐标；（3）已知A、B、E三点的坐标，运用两点间的距离公式计算得出AB²=40，BE²=40，AE²=80，则AB²+BE²=AE²，根据勾股定理的逆定理即可证明AB⊥BE．
试题解析：
解：（1）∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC，
∴△ODC≌△OAB，
∴OC=OB=2，OD=OA=6，
∴C（2，0），D（0，6）；
（2）∵抛物线过点A（-6，0），C（2，0），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x-2）（a≠0），
∵D（0，6）在抛物线上，
∴6=-12a，
解得a=，
∴抛物线的解析式为
∴
∵
∴顶点E的坐标为（-2，8）；
（3）连接AE．
∵A（-6，0），B（0，2），E（-2，8），
∴AB²=6²+2²=40，BE²=（-2-0）²+（8-2）²=40，AE²=（-2+6）²+（8-0）²=80，
∴AB²+BE²=AE²，
∴AB⊥BE．