Question

【题目】已知正方形ABC D，E为平面内任意一点，连接AE，BE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC.

（1）如图1，求证：①；②.

（2）若，

① 如图2，点E在正方形内，连接EC，若， ，求的长；

② 如图3，点E在正方形外，连接EF，若AB=6，当C、E、F在一条直线时，

求AE的长.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）①由旋转的性质得到△AEB≌△CFB，利用全等三角形的对应边对应角相等证明；

②延长AE交CF于G，交BC于H，证明∠HGC=∠ABC即可；

（2）①连接EF，由BE⊥BF且BE=BF，可得∠BFE=45°，EF2=8，这样在Rt△ECF中，

利用勾股定理可得FC的长， 即可得到结论；

②过点B作BG⊥FC于点G，利用勾股定理可得GC，GF的长，即可得到结论．

试题解析：解：（1）①由旋转的性质可知：△ABE≌△CBF，∴AE=CF；

②延长AE交CF于G，交BC于H．由旋转的性质可知：△ABE≌△CBF，∴∠BAE=∠BCF．∵∠AHB=∠CHG，∴∠HGC=∠ABC=90°，∴AE⊥CF；

（2）①连接EF．∵△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，∠BFC=∠BEA．∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBC=90°，∴∠EBC+∠FBC=90°，∴∠EBF=90°，∵BE=BF=2，∴EF2=22+22=8，∠BFE=45°，∴∠EFC=90°，∵EC=5，∴FC==，∴AE=；

②过点B作BG⊥FC于点G．∵△FBE是等腰直角三角形，BE=2，∴BG=FG=GE=，在Rt△BGC中，GC==，∴AE=CF=.