Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，线段AD是BC边上的中线，如图①，将△ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE；如图②，再将△FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α≤90°），连接AF、DE．

（1）在旋转过程中，当∠ACE=150°时，求旋转角α的度数；
（2）请探究在旋转过程中，四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分两种情况：①点E和点D在直线AC两侧；②点E和点D在直线AC的同侧分别得出即可；
（2）利用当α=60°时以及当α≠60°时，∠ACF≠120°，分别得出四边形ADEF为平行四边形，以及AE=DF和AF∥DE即可得出答案．

解答：解：（1）在图①中，∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．
在旋转过程中，分两种情况：
①当点E和点D在直线AC两侧时，如图2，
∵∠ACE=150°，
∴α=150°-120°=30°；
②当点E和点D在直线AC的同侧时，如备用图，
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°，
∴α=180°-∠DCE=90°．
∴旋转角α为30°或90°；

（2）四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．
∵∠BAC=90°，∠B=30°，AC=

1

2

BC，
又AD是BC边上的中线，∴AD=CD=

1

2

BC=AC，
∴△ADC为正三角形．
①当α=60°时，∠ACE=120°+60°=180°，
∵CA=CE=CD=CF，∴四边形ADEF为平行四边形，
又∵AE=DF，∴四边形ADEF为矩形，
②当α≠60°时，∠ACF≠120°，∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°，
显然DE≠AF，
∵AC=CF，CD=CE
∵2∠FAC+∠ACF=180°，2∠CDE+∠DCE=180°∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°，
∴2∠FAC+2∠CDE=120°，
∴∠FAC+∠CDE=60°，
∵∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°
∴AF∥DE．
∴四边形ADEF为等腰梯形．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及矩形、等腰梯形的判定等知识，利用旋转得出正确图形是解题关键．