Question

17．设抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动，抛物线与x轴交于C，D两点（C在D的左侧）．若点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），给出下列结论：①c＜3；②当x＜-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a=-$\frac{4}{3}$．其中正确的是（　　）

• A． ①②④
• B． ①③④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．

解答 解：∵点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≤3，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴当x＜-2时，y随x的增大而增大，
因此，当x＜-3时，y随x的增大而增大，故②正确；
若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x=1，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为-2-4=-6，故③错误；
根据顶点坐标公式，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=3，
令y=0，则ax²+bx+c=0，设方程的两根为x₁，x₂，
则CD²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（-$\frac{b}{a}$）²-4×$\frac{c}{a}$=$\frac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}$，
根据顶点坐标公式，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=3，
∴$\frac{{b}^{2}-4ac}{a}$=-12，
∴CD²=$\frac{1}{a}$×（-12）=-$\frac{12}{a}$，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-2）=3，
∴-$\frac{12}{a}$=3²=9，
解得a=-$\frac{4}{3}$，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故选D．

点评 本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，解题的关键是灵活运用所学知识，题目比较难，属于选择题中的压轴题．