在直角坐标系中.点A.点C(0.3).动点M从点O出发.以每秒1个单位长度向C点运动.动点N同时从点C出发.以每秒2个单位长度向B点运动.当点N运动到B点时.点M也随之停止运动.设运动时间为t(秒)(1)求经过A.B.C三点的抛物线解析式．(2)t为何值时.以A.M.N为顶点的三角形是直角三角形?(3)当N经过抛物线的对称轴与BC交点时.此时抛物线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

在直角坐标系中，点A（5，0），点B（4，3），点C（0，3），动点M从点O出发，以每秒1个单位长度向C点运动，动点N同时从点C出发，以每秒2个单位长度向B点运动，当点N运动到B点时，点M也随之停止运动，设运动时间为t（秒）
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式．
（2）t为何值时，以A、M、N为顶点的三角形是直角三角形？
（3）当N经过抛物线的对称轴与BC交点时，此时抛物线的对称轴能将三角形AMN的面积分为1：2吗？请说明理由．
（4）按此速度运动下去，以A、M、N为顶点的三角形可以构成等腰直角三角形吗？若能，请说明理由，若不能，能否通过改变M点的速度使以A、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形，并求出改变后的速度和此时t的值．

分析（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）分∠NMA=90°和∠ANM=90°两种情况，用三角形相似得到的比例式列出方程求解，即可；
（3）先求出对称轴x=2，此时N（2，3），M（0，1）得到$\frac{AP}{PM}=\frac{AQ}{QO}$，求出面积的比$\frac{AP}{PM}=\frac{3}{2}$，即可；
（4）先判断t=1时，不能构成等腰直角三角形，设出速度，由等腰直角三角形的性质，得出△MCN≌△NHA，从而求出速度和时间．

解答解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
根据题意得，$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b+c=0}\\{16a+4b+c=3}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{12}{5}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3，
（2）当∠NMA=90°时，
∴△AOM∽△MCN，
∴$\frac{t}{5}=\frac{2t}{3-t}$，
∴t=-7（舍），
当∠ANM=90°，
过点AH⊥CB，
∴△NHA∽△MCN，
∴$\frac{3-t}{2t}=\frac{5-2t}{3}$，
∴t=1或t=$\frac{9}{4}$（舍），
∴t=1时，以A，M，N为顶点的三角形是直角三角形；
（3）∵y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3，
∴对称轴x=2，此时N（2，3），M（0，1）
设抛物线的对称轴于AM交于P，与AO角于Q，
∴$\frac{AP}{PM}=\frac{AQ}{QO}$，
∴$\frac{AP}{PM}=\frac{3}{2}$，
∴抛物线的对称轴不能将△ANM的面积分成$\frac{1}{2}$；
（4）由（2）有，t=1时，以A，M，N为顶点的三角形是直角三角形；
∴MN=2$\sqrt{2}$，AN=3$\sqrt{2}$，
∴按此速度运动下去，以A、M、N为顶点的三角形不能构成等腰直角三角形，
设M点的速度为每秒k个单位，若△AMN为等腰直角三角形，
∴△MCN≌△NHA，
∴2t=3，
∴t=$\frac{3}{2}$，
∵3-kt=3，
∴k=$\frac{2}{3}$，
当点Q的速度为每秒$\frac{2}{3}$个单位时，△AMN为所以直角三角形，此时t=$\frac{3}{2}$．

点评此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是用三角形的相似建立方程求解．

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