Question

【题目】已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象与x轴的两个交点为A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），且x12+x22=25，求m的值；
（3）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：令y=0，a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=0，

△=（﹣a）2﹣4a×0=a2，

∵a≠0，

∴a2＞0，

∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点

（2）解：y=0，则a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m）（x﹣m﹣1）=0，

解得x1=m，x2=m+1，

∵x12+x22=25，

∴m2+（m+1）2=25，

解得m1=﹣4，m2=3．

故m的值为﹣4或3

（3）解：∵x1=m，x2=m+1，

∴AB=（m+1）﹣m=1，

y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m﹣ ）2﹣ ，

△ABC的面积= ×1×|﹣ |=1，

解得a=±8．

故a的值是±8

【解析】（1）把（x-m）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）令y=0，利用因式分解法解方程求出x1=m，x2=m+1，根据x12+x22=25，代入得到关于m的方程，解方程即可求出m的值；
（3）根据两点间的距离公式求出AB，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可求出a的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用根与系数的关系和三角形的面积的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；三角形的面积=1/2×底×高．