Question

20．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．
（1）如图①，当点D在AB上，点E在AC上时，请判断线段CF，DF有怎样的数量关系和位置关系？为什么？
（2）如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置时，请判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF=CF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠ABC=90°，进而得出DF⊥BF；
（2）延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，先判定△BFG≌△EFD（SAS），得到∠FBG=∠FED，BG=ED，结合△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，得出∠CBG=∠DAC，再判定△BCG≌△ACD（SAS），进而得到GC=DC，∠BCG=∠ACD，根据△DCG是等腰直角三角形，以及F是DG的中点，即可得到CF⊥DF且CF=DF．

解答 解：（1）CF=DF且CF⊥DF．理由如下：
∵∠ADE=90°，
∴∠BDE=90°，
又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$BE=BF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，
∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠CFD=90°，
∴CF=DF且CF⊥DF．

（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，
∵F是BE的中点，
∴BF=EF，
又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，
∴△BFG≌△EFD（SAS），
∴∠FBG=∠FED，BG=ED，
∴BG∥DE，
∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，
∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，
AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，
又∵∠CBG=∠EBG-∠EBA-∠ABC
=∠DEF-（180°-∠AEB-∠EAB）-45°
=∠DEF-180°+∠AEB+∠EAB-45°
=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB-225°
=360°-∠DEA+∠EAB-225°
=360°-45°+∠EAB-225°
=90°+∠EAB，
而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB
=45°+∠EAB+45°
=90°+∠EAB，
∴∠CBG=∠DAC，
又∵BG=ED，DE=DA，
∴BG=AD，
又∵BC=AC，
∴△BCG≌△ACD（SAS），
∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，
∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
又∵F是DG的中点，
∴CF⊥DF且CF=DF．

点评 本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形和全等三角形的判定与性质的运用．解题时需要作辅助线，构造全等三角形以及等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形和全等三角形的性质及其判定定理是解题的关键．