Question

【题目】正方形ABCD，边长为4，E是边BC上的一动点，连DE，取DE中点G，将GE绕E顺时针旋转90°到EF，连接CF，当CE为_____时，CF取得最小值．

Answer 1

【答案】

【解析】

作GM⊥BC于M，FN⊥BC于N，证出GM是△CDE是中位线，得出CM=EM，GM=

CD=2，由旋转的性质得出EF=EG，∠GEF=90°，证明△GEM≌△EFN（AAS），得出GM=EN=2，EM=FN，设CE=x，则CM=EM=FN=x，在Rt△CFN中，由勾股定理得出CF2=CN2+FN2=，由二次函数的性质即可得出答案．

作GM⊥BC于M，FN⊥BC于N，如图所示：

则GM∥CD，

∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝4，

∵G是DE的中点，

∴GM是△CDE是中位线，

∴CM＝EM，GM＝CD＝2，

由旋转的性质得：EF＝EG，∠GEF＝90°，

即∠GEM+∠FEN＝90°，

∵∠GEM+∠EGM＝90°，

∴∠EGM＝∠FEN，

在△GEM和△EFN中，

，

∴△GEM≌△EFN（AAS），

∴GM＝EN＝2，EM＝FN，

设CE＝x，则CM＝EM＝FN＝x，

在Rt△CFN中，由勾股定理得：CF2＝CN2+FN2＝（x﹣2）2+（x）2＝x2﹣4x+4＝（x﹣）2+，

∴当x＝时，CF的最小值＝＝；

故答案为：．