Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB=OC．点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H．
（1）求点B的坐标；
（2）设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；当t为何值时，△HBP的面积最大，并求出最大面积；
（3）分别以P、H为圆心，PC、HB为半径作⊙P和⊙H，当两圆外切时，求此时t的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）作BN⊥OC，垂足为N，根据已知，B点的纵坐标等于A点的纵坐标．由OC=OB，根据勾股定理求得B的横坐标，即可得出B点坐标；
（2）首先根据△BON∽△POH对应边成比例，用含t的式子表示出OP=10-5t OH=6-3t PH=8-4t，BH=3t+4，根据三角形的面积公式即可得出S与t之间的函数关系式进而得出答案；
（3）根据两圆外切的性质得出HB+PC=HP，从而得出根据t的方程，解方程即可求得t的值．

解答：解：（1）如图，作BN⊥OC，垂足为N
由题意知 OB=OC=10，BN=OA=8
∴ON=

OB2-BN2

=6
∴B（6，8）；

（2）如图，∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°
∴△BON∽△POH
∴

BO

PO

=

ON

OH

=

BN

PH

，
∵PC=5t，
∴OP=10-5t  OH=6-3t  PH=8-4t
∴BH=OB-OH=3t+4
∴S=

1

2

（3t+4）（8-4t）=-6t²+4t+16=-6（t-

1

3

）²+

50

3

（0≤t＜2），
∵a=-6＜0，
∴当t=

1

3

时，S_最大=

50

3

，
∵t=

1

3

满足0≤t＜2，
∴当t=

1

3

时，△HBP的面积最大，最大面积是

50

3

，

（3）由题意知⊙P和⊙H两圆外切，
∴HB+PC=HP
即：（3t+4）+5t=8-4t
解得t=

1

3

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理以及两圆外切的性质，平面直角坐标系等知识点，要注意（2）中，用含t的式子表示出线段，从而得出S与t的函数关系式．