Question

如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形．连接AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形．
（1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时，四边形EFGH为菱形．
当四边形ABCD的对角线满足

 

时，四边形EFGH为矩形；
当四边形ABCD的对角线满足

 

时，四边形EFGH为正方形；
（2）探索三角形AEH、三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明；
（3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？

Answer 1

分析：（1）若四边形EFGH为矩形，则应有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故应有AC⊥BD；若四边形EFGH为正方形，同上应有AC⊥BD，又应有EH=EF，而EF=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，故应有AC=BD．
（2）由相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．（3）由（2）可得S_?EFGH=

1

2

S_{四边形ABCD}=1

解答：解：（1）若四边形EFGH为矩形，则应有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故应有AC⊥BD；
若四边形EFGH为正方形，同上应有AC⊥BD，又应有EH=EF，而EF=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，故应有AC=BD．

（2）S_△AEH+S_△CFG=

1

4

S_{四边形ABCD}．
证明：在△ABD中，
∵EH=

1

2

BD，
∴△AEH∽△ABD．
∴

S△AEH

S△ABD

=(

EH

BD

)2=

1

4

．
即S_△AEH=

1

4

S_△ABD
同理可证：S_△CFG=

1

4

S_△CBD
∴S_△AEH+S_△CFG=

1

4

（S_△ABD+S_△CBD）=

1

4

S_{四边形ABCD}．

（3）由（2）可知S_△AEH+S_△CFG=

1

4

（S_△ABD+S_△CBD）=

1

4

S_{四边形ABCD}，
同理可得S_△BEF+S_△DHG=

1

4

（S_△ABC+S_△CDA）=

1

4

S_{四边形ABCD}，
故S_?EFGH=

1

2

S_{四边形ABCD}=1．

点评：本题考查了三角形的中位线的性质及特殊四边形的判定和性质，相似三角形的性质．