Question

如图是图①的正方体切去一块，得到图②～⑤的几何体．
（1）它们各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？
（2）举例说明其他形状的几何体也切去一块，所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少；
（3）若面数记为f，棱数记为e，顶点数记为v，则f+v-e应满足什么关系？

Answer 1

考点：截一个几何体

专题：

分析：（1）根据正方体原有的面数，顶点数，棱的条数，以及正方体截去一个角后，面、顶点、棱的变化情况，形数结合求解；
（2）利用不同举例说明即可得出；
（3）利用以上所求得出f+v-e应满足的关系．

解答：解：（1）正方体原有6个面，8个顶点，12条棱，
如图②把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有10个顶点，有15条棱．
如图③把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有9个顶点，有14条棱．
如图④把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有8个顶点，有13条棱．
如图⑤把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有7个顶点，有12条棱．

（2）如图顶点数a、棱数b、面数c填入下表：
，
；

（3）由（1）得：∵一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有10个顶点，有15条棱．
把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有9个顶点，有14条棱．
把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有8个顶点，有13条棱．
把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有7个顶点，有12条棱．
即7+15-10=12，7+14-9=12，7+13-8=12，7+12-7=12，
∴面数记为f，棱数记为e，顶点数记为v，
∴则f+v-e=2．

点评：本题考查了正方体的截面．关键是明确正方体的面数，顶点数，棱的条数，形数结合，求出截去一个角后得到的几何体的面数，顶点数，棱的条数．