Question

16．在等边三角形ABC中，E为直线AB上一点，连接EC．ED与直线BC交于点D，ED=EC．
（1）如图1，AB=1，点E是AB的中点，求BD的长；
（2）点E是AB边上任意一点（不与AB边的中点和端点重合），依题意，将图2补全，判断AE与BD间的数量关系并证明；
（3）点E不在线段AB上，请在图3中画出符合条件的一个图形．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠BCE=30°，于是得到结论；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于F，先证明△AEF是等边三角形，得出AE=EF，再证明△DBE≌△EFC，得出DB=EF，即可证出AE=DB；
（3）根据题意作出图形即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB=60°，
∴∠DEB=∠D=30°，
∴BD=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$；

（2）DB=AE成立；理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于F，则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠CEF=∠ECD，
∵∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∠DBE=120°，
∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠EFC=120°，
∴BE=CF，∠DBE=∠EFC，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠CEF，
在△DBE和△EFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CEF}\\{∠DBE=∠EFC}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB=EF，
∴AE=DB；

（3）如图3所示．

点评 本题考查了作图-复杂作图，等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．