分析 先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,再分类讨论:当△ABC∽△CDE,如图1,则∠CED=∠ACB=90°,∠DCE=∠A,所以CE=AE,根据等腰三角形得CE=$\frac{1}{2}$AC=2;当△ABC∽△DCE,如图2,则∠CED=∠ACB=90°,∠DCE=∠B,接着证明CD⊥AB,利用面积法可计算出CD=$\frac{12}{5}$,利用相似比可计算出CE=$\frac{36}{25}$;当△ABC∽△CED,如图3,∠CDE=∠ACB=90°,∠DCE=∠A,证明CD为斜边上的中线,则CD=DA=DB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$,然后利用相似比可计算出CE=$\frac{25}{8}$,综上所述,CE的长为2,$\frac{25}{8}$,$\frac{36}{25}$.
解答 解:∵AB=5,AC=4,BC=3,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,
当△ABC∽△CDE,如图1,则∠CED=∠ACB=90°,∠DCE=∠A,
∴△ADC为等腰三角形,
∴CE=AE,
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2;
当△ABC∽△DCE,如图2,则∠CED=∠ACB=90°,∠DCE=∠B,
而∠BCD+∠DCE=90°,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴CD⊥AB,
∴CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{12}{5}$,
∵△ABC∽△DCE,
∴AB:CD=BC:CE,即5:$\frac{12}{5}$=3:CE,
∴CE=$\frac{36}{25}$;
当△ABC∽△CED,如图3,∠CDE=∠ACB=90°,∠DCE=∠A,
∴DC=DA,
∵∠A+∠B=90°,∠DCE+∠BCD=90°,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴DB=DC,
∴CD=DA=DB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$,
∵△ABC∽△CED,
∴CE:AB=CD:AC,即CE:5=$\frac{5}{2}$:4,
∴CE=$\frac{25}{8}$,
综上所述,CE的长为2,$\frac{25}{8}$,$\frac{36}{25}$.
故答案为2,$\frac{25}{8}$,$\frac{36}{25}$.
点评 本题考查了相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等,对应边的比相等;相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比;相似三角形的面积的比等于相似比的平方.也考查了分类讨论的思想.
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