Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是高和角平分线，已知△BEC的面积是15，△CDE的面积为3，则△ABC的面积为

1. A.
   22.5或20
2. B.
   22.5
3. C.
   24或20
4. D.
   20

Answer 1

A
分析：首先过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，根据角平分线的性质，即可得EM=EN，然后设S_△ACD=x，根据三角形的面积求解方法，可得===，又由△ACD∽△CBD，可得=（）²，即可得方程：=（）²，解此方程即可求得答案．
解答：解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴EM=EN，
设S_△ACD=x，
∵S_△ACE=AC•EN=AE•CD，S_△BCE=BC•EM=BE•CD，
∴===，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴=（）²，
∵=，
∴=（）²，
解得：x=2或4.5，
∴S_△ABC=2+18=20或S_△ABC=18+4.5=22.5．
故选A．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，角平分线的性质以及三角形面积的求解方法．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．