Question

如图，已知二次函数y=a（x-h）²+

3

的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？

Answer 1

考点：二次函数的性质,坐标与图形变化-旋转

专题：

分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=

1

2

OA′=1，A′B=

3

OB=

3

，则A′点的坐标为（1，

3

），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=-

3

（x-1）²+

3

的顶点．

解答：解：（1）∵二次函数y=a（x-h）²+

3

的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
解得：h=1，a=-

3

，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；

（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作A′B⊥x轴于点B，
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，
在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，
∴OB=

1

2

OA′=1，
∴A′B=

3

OB=

3

，
∴A′点的坐标为（1，

3

），
∴点A′为抛物线y=-

3

（x-1）²+

3

的顶点．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．