Question

【题目】（阅读理解）

借助图形的直观性，我们可以直接得到一些有规律的算式的结果，比如：由图①，通过对小黑点的计数，我们可以得到1+2+3+…+n＝n（n+1）；由图②，通过对小圆圈的计数，我们可以得到1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2．

那么13+23+33+…+n3结果等于多少呢？

如图③，AB是正方形ABCD的一边，BB′＝n，B′B″＝n﹣1，B″B′′′＝n﹣2，……，显然AB＝1+2+3+…+n＝ n（n+1），分别以AB′、AB″、AB′′′、…为边作正方形，将正方形ABCD分割成块，面积分别记为Sn、Sn﹣1、Sn﹣2、…、S1．

（规律探究）

结合图形，可以得到Sn＝2BB′×BC﹣BB′2＝　 　，

同理有Sn﹣1＝　 　，Sn﹣2＝　 　，…，S1＝13．

所以13+23+33+…+n3＝S四边形ABCD＝　 　．

（解决问题）

根据以上发现，计算的结果为　 　．

Answer 1

【答案】n3；（n﹣1）3；（n﹣2）2；[n（n+1）2]；1275

【解析】

将BB′＝n，AB＝BC＝n（n+1），代入求Sn；以此规律得到Sn﹣1，Sn﹣2，13+23+33+…+n3＝S四边形ABCD＝[n（n+1）]2；利用得到的结论直接代入公式计算＝＝1275；

解：∵BB′＝n，AB＝BC＝n（n+1），

∴Sn＝2BB′×BC﹣BB′2＝2n（n（n+1））﹣n2＝n3，

同理Sn﹣1＝（n﹣1）3，Sn﹣2＝（n﹣2）3，

∴13+23+33+…+n3＝S四边形ABCD＝[n（n+1）]2，

＝＝25×51＝1275；

故答案为n3；（n﹣1）3；（n﹣2）2；[n（n+1）2]；1275；