【题目】(阅读理解)
借助图形的直观性,我们可以直接得到一些有规律的算式的结果,比如:由图①,通过对小黑点的计数,我们可以得到1+2+3+…+n=n(n+1);由图②,通过对小圆圈的计数,我们可以得到1+3+5+…+(2n﹣1)=n2.
那么13+23+33+…+n3结果等于多少呢?
如图③,AB是正方形ABCD的一边,BB′=n,B′B″=n﹣1,B″B′′′=n﹣2,……,显然AB=1+2+3+…+n= n(n+1),分别以AB′、AB″、AB′′′、…为边作正方形,将正方形ABCD分割成块,面积分别记为Sn、Sn﹣1、Sn﹣2、…、S1.
(规律探究)
结合图形,可以得到Sn=2BB′×BC﹣BB′2= ,
同理有Sn﹣1= ,Sn﹣2= ,…,S1=13.
所以13+23+33+…+n3=S四边形ABCD= .
(解决问题)
根据以上发现,计算的结果为 .
【答案】n3;(n﹣1)3;(n﹣2)2;[n(n+1)2];1275
【解析】
将BB′=n,AB=BC=n(n+1),代入求Sn;以此规律得到Sn﹣1,Sn﹣2,13+23+33+…+n3=S四边形ABCD=[n(n+1)]2;利用得到的结论直接代入公式计算==1275;
解:∵BB′=n,AB=BC=n(n+1),
∴Sn=2BB′×BC﹣BB′2=2n(n(n+1))﹣n2=n3,
同理Sn﹣1=(n﹣1)3,Sn﹣2=(n﹣2)3,
∴13+23+33+…+n3=S四边形ABCD=[n(n+1)]2,
==25×51=1275;
故答案为n3;(n﹣1)3;(n﹣2)2;[n(n+1)2];1275;
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【题目】如图,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.
(1)求证:△BDF是等腰三角形;
(2)若AB=6,AD=8,求AF的长.
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【题目】在综合与实践课上,老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动.如图1,现有矩形纸片ABCD,AB=8cm,AD=6cm.连接BD,将矩形ABCD沿BD剪开,得到△ABD和△BCE.保持△ABD位置不变,将△BCE从图1的位置开始,绕点B按逆时针方向旋转,旋转角为α(0°≤α<360°).在△BCE旋转过程中,边CE与边AB交于点F.
(1)如图2,将图1中的△BCE旋转到点C落在边BD上时,CF= ;
(2)继续旋转△BCE,当点E落在DA延长线上时,求出CF的长;
(3)在△BCE旋转过程中,连接AE,AC,当AC=AE时,直接写出此时α的度数及△AEC的面积.
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【题目】如图,⊙O中,AB是⊙O的直径,G为弦AE的中点,连接OG并延长交⊙O于点D,连接BD交AE于点F,延长AE至点C,使得FC=BC,连接BC.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)⊙O的半径为5,tanA=,求FD的长.
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【题目】已知点是线段上与点不重合的一点,且绕点逆时针旋转角得到绕点顺时针旋转角得到,连接
(1)如图1,当时,求的度数;
(2)如图2,当点在的延长线上时,求证: ;
(3)如图3,过的中点作,过的中点作, 与交于点,连接,若,求的长度.
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【题目】如图,以为斜边作和,,,垂足为点,点是线段上一点,连接分别交于,过点作,交延长线于点,.
(1)求证:;
(2)若,求的长;
(3)若,,求线段的长.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,BD=6cm,AD=8cm,AB=10cm,点E从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点G从点C出发,沿CB方向匀速运动,速度为2cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接OE,过点G作GF∥BD,设运动时间为t(s)(0<t<4),解答下列问题:
(1)当t为何值时,△BOE是等腰三角形?
(2)设五边形OEBGF面积为S,试确定S与t的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形OEBGF:S△ACD=19:40?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得OB平分∠COE,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,△DEF由△ABC平移得到,∠DFE=∠CDF=30°,∠DEF=90°,BE⊥DF于点B.连接CE,AB=3.
(1)求证:四边形ACDF为矩形
(2)求线段CE的长和△CEF的面积.
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【题目】如图1,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E为线段BO上一点,连接CE,将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF,连接EF交CD于点G.
(1)若AB=4,BE=,求△CEF的面积.
(2)如图2,线段FE的延长线交AB于点H,过点F作FM⊥CD于点M,求证:BH+MG=BE;
(3)如图3,点E为射线OD上一点,线段FE的延长线交直线CD于点G,交直线AB于点H,过点F作FM垂直直线CD于点M,请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系.
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