Question

5、如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；
（2）选择（1）中的一个结论加以证明．

Answer 1

分析：（1）图中的特殊四边形比较多，容易找出，矩形BCEF，菱形BNEM，直角梯形BDEM，AENB；根据正六边形的性质容易证明；
（2）∠BEF是直角，从而证明AE∥BD，BF∥CE，这样以上的特殊四边形就都可以证明了．

解答：解：（1）矩形ABDE，矩形BCEF；或菱形BNEM；或直角梯形BDEM，AENB等．（4分）

（2）选择ABDE是矩形．
证明：
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE=∠FAB=120°，
∴∠EAF=30°，
∴∠EAB=∠FAB-∠FAE=90度．（5分）
同理可证∠ABD=∠BDE=90度．
∴四边形ABDE是矩形．（7分）
选择四边形BNEM是菱形．
证明：同理可证：∠FBC=∠ECB=90°，∠EAB=∠ABD=90°，
∴BM∥NE，BN∥ME．∴四边形BNEM是平行四边形．
∵BC=DE，∠CBD=∠DEN=30°，∠BNC=∠END，
∴△BCN≌△EDN．∴BN=NE．
∴四边形BNEM是菱形．（7分）
选择四边形BCEM是直角梯形．
证明：同理可证：BM∥CE，∠FBC=90°，又由BC与ME不平行，
得四边形BCEM是直角梯形．

点评：此题主要考查了正六边形的性质，矩形，菱形，梯形的性质与判定．