Question

【题目】已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．

（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，

∴∠ABF+∠CBF=90°，

∵AE⊥BF，

∴∠ABF+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠CBF，

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF

（2）解：∵正方形面积为3，

∴AB= ，

在△BGE与△ABE中，

∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，

∴△BGE∽△ABE，

∴ ，

又∵BE=1，

∴AE2=AB2+BE2=3+1=4，

∴S△BGE= ×S△ABE= =

（3）解：没有变化．

理由：∵AB= ，BE=1，

∴tan∠BAE= = ，∠BAE=30°，

∵AB′=AB=AD，∠AB′E′=∠ADE′=90°，AE′公共，

∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，

∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，

∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，

设BF与AE′的交点为H，

则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG公共，

∴△BAG≌△HAG（ASA），

∴S四边形GHE′B′=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE．

∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化．

【解析】（1）利用正方形的性质和互为余角的性质可证出全等；（2）利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方可求出;（3）可借鉴（2）的思路方法构造出原来的三角形，通过转化S四边形GHE′B′=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE，没有发生变化.
【考点精析】关于本题考查的正方形的性质和相似三角形的判定与性质，需要了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．