Question

【题目】如图是二次函数y＝（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）．

（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；

（2）在y轴上存在一点Q，使得△QMB周长最小，求出Q点坐标．

Answer 1

【答案】（1）A点和B点坐标为（﹣1，0），（3，0）；（2）满足条件的Q点的坐标为（0，﹣）．

【解析】

（1） 已知顶点坐标代入解析式，再求得y=0时的x值即可确定点A、B的坐标.

（2）△QMB的周长=QM+QB+MB,而线段MB长度为确定值，所以只需确定QM+QB的和最小即可，做点B关于y轴的对称点C，连接CM与y轴交点即为点Q，求得直线CM与y轴交点坐标即可.

解：（1）∵抛物线的顶点坐标为M（1，﹣4）．

∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，

当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，

∴A点和B点坐标为（﹣1，0），（3，0）；

（2）作B点关于y轴的对称点C，如图，则C（﹣4，0），

连接MC交y轴于Q，

∵QB＝GC，

∴QM+QB＝QM+QC＝MC，

∴此时QM+QB的值最小，△QMB周长最小，

设直线MC的解析式为y＝ax+b，

把M（1，﹣4），C（﹣3，0）代入得，解得，

∴直线MC的解析式为y＝，

当x＝0时，y＝0＝﹣，

∴满足条件的Q点的坐标为（0，﹣3）．