Question

1．如图1所示，菱形ABCD的对角线AC=2，BD=4，分别以BD、AC所在直线为x、y轴建立坐标系，点P从A出发沿着线段AC向点C运动，到达C点后停止运动，过P作平行于x轴的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AP=x．
（1）设△AMN的面积为y，求点P在线段OA上时y关于x的函数解析式；
（2）△AMN是否能为等边三角形？如能，求出此时x的值；如不能，说明理由．
（3）（如图2）以MN为直径的圆与CD、CB两边（包括端点）的公共点的总数有多少个？请直接写出答案并写出相应的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=4，得到AO=$\frac{1}{2}$AC=1，AC⊥BD，由于MN∥BD，得到MN⊥AC，于是得到△AMN∽△ABD，列比例式即可得到结果；
（2）①0＜x≤1时△AMN不可能为等边三角形；②当MN与CD交于M，与BC交于N，△AMN是等边三角形，通过△CMN∽△CBD，得到比例式，列方程求得结果；
（3）分类讨论由（1）知，△APM∽△ADO，得到PM=2PA=2x，证得CE=AP=x，根据PC的长度列方程$\sqrt{5}$x=2-x，解得x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，于是当$0＜x＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$时，以MN为直径的圆与CD、B两边（包括端点）的公共点有0个 当 $x=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$时，有2个，如图3，当⊙P过点C时，根据PC=PM列方程2-x=2x，解得x=$\frac{3}{2}$，于是得到当x=$\frac{2}{3}$时，以MN为直径的圆与CD、CB两边（包括端点）的公共点有3个，如图4，当$\frac{2}{3}＜x＜2$时，以MN为直径的圆与CD、CB两边（包括端点）的公共点有2个，如图5，当$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜x＜$\frac{2}{3}$ 时，以MN为直径的圆与CD、CB两边（包括端点）的公共点有4个．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=4，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=1，AC⊥BD，
∵MN∥BD，
∴MN⊥AC，
∴△AMN∽△ABD，
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{MN}{BD}$，即$\frac{x}{1}=\frac{MN}{4}$，
∴MN=4x，
∴y=$\frac{1}{2}$MN•AP=2x²；

（2）①0＜x≤1时，∵tan∠DAO=2$＞\sqrt{3}$，
∴∠DAO＞60°，与CD交于M，与BC交于N
∴∠DAB＞120°，
∴0＜x≤1时，△AMN不可能为等边三角形；
②当MN与CD交于M，与BC交于N，△AMN是等边三角形，如图1
∵MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴$\frac{CP}{CO}=\frac{MN}{BD}$，
即$\frac{2-x}{1}=\frac{MN}{4}$，
∴MN=8-4x，
∴PM=$\frac{1}{2}$MN=4-2x，
∵∠NMA=60°，
∴tan∠NMA=$\frac{AP}{PM}$=$\frac{x}{4-2x}$=$\sqrt{3}$，
解得：x=$\frac{24-4\sqrt{3}}{11}$；

（3）由（1）知，△APM∽△ADO，
∴$\frac{PA}{PM}=\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$，
∴PM=2PA=2x，
如图2，当⊙P与CD，BC相切于点E，F时，连接PE，PF，
在△APM与△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAP=∠ECP}\\{∠MPA=∠CEP}\\{PE=PM}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△PCE，
∴CE=AP=x，
∵PE=PM=2x，
∴PC=$\sqrt{5}$x=2-x，
解得x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴当$0＜x＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$时，以MN为直径的圆与CD、CB两边（包括端点）的公共点有0个，
当 $x=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$时，有2个，
如图3，当⊙P过点C时，PC=PM，
即2-x=2x，解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴当x=$\frac{2}{3}$时，以MN为直径的圆与CD、CB两边（包括端点）的公共点有3个，
如图4，当$\frac{2}{3}＜x＜2$时，以MN为直径的圆与CD、CB两边（包括端点）的公共点有2个  
如图5，当$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜x＜$\frac{2}{3}$ 时以MN为直径的圆与CD、CB两边（包括端点）的公共点有4个；
综上所述：当$0＜x＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$时，以MN为直径的圆与CD、CB两边（包括端点）的公共点有0个，
当 $x=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$或$\frac{2}{3}＜x＜2$时，以MN为直径的圆与CD、CB两边（包括端点）的公共点有有2个，
当x=$\frac{2}{3}$时，以MN为直径的圆与CD、CB两边（包括端点）的公共点有3个，
当$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜x＜$\frac{2}{3}$ 时以MN为直径的圆与CD、CB两边（包括端点）的公共点有4个．

点评 本题考查了菱形的性质，圆与直线的位置关系，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．