Question

7．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧把含30°角的透明三角板的30°角的顶点放在点P，绕P点旋转，三角板的两边分别交BA的延长线和边AC于点E、F．
（1）探究1：△BPE与△CFP相似吗？为什么？
（2）探究2：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？为什么？
（3）设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

Answer 1

分析 （1）先找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠B=∠C，再根据∠BPE+∠CPF=150°，∠CPF+∠CFP=150°，得出∠BPE=∠CFP，从而得出△BPE与△CFP相似；
（2）根据△BPE∽△CFP，得出对应边成比例，再根据CP=BP，∠EBP=∠EPF，即可得出△BPE∽△PFE；
（3）过点P分别作PM⊥BE，作PN⊥EF，垂足分别为M、N，连接AP，根据相似三角形的对应角相等，得出PM=PN，再根据AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，求得AP=4，再根据勾股定理得出PM=2$\sqrt{3}$，进而得到△PEF中EF上的高PN=2$\sqrt{3}$，最后计算△EPF的面积即可．

解答 解：（1）：△BPE与△CFP相似．
理由：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠BPE+∠CPF=150°，∠CPF+∠CFP=150°，
∴∠BPE=∠CFP，
∴∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）；

（2）△BPE与△PFE相似．
理由：∵△BPE∽△CFP，
∴$\frac{CP}{BE}$=$\frac{PF}{PE}$，
而CP=BP，
∴$\frac{BP}{BE}$=$\frac{PF}{PE}$，
又∵∠EBP=∠EPF=30°，
∴△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）；

（3）∵△BPE∽△PFE，
∴∠BEP=∠PEF，即PE平分∠BEF，
如图，过点P分别作PM⊥BE，作PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM=PN，
连接AP，
∵AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，
∴AP⊥BC，∠PAM=60°，
∴在Rt△ABP中，由∠B=30°，AB=8，可得AP=4，
∴Rt△APM中，AM=2，PM=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴PN=2$\sqrt{3}$，
又∵EF=m，
∴S_△EPF=$\frac{1}{2}$PN×EF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×m=$\sqrt{3}$m．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积计算公式的综合应用，解题时注意：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．解决问题时需要作辅助线构造含30°角的直角三角形，解决问题的关键是转化思想的运用．