Question

【题目】如图，一块直角三角板ABC(∠A＝30°)的斜边AB与一个以r为半径的圆轮子相靠，若BD＝1，则r等于(　　)

A. 2 B. C. 1.5 D.

Answer 1

【答案】B

【解析】记⊙O与直角三角尺的斜边切于点E,连结OB,OE,由已知可求出∠ABC的度数,进而可求出∠ABD的度数，由已知不难证得△OEB≌△ODB,再利用全等三角形的性质,结合直角三角形的两个锐角互余,求出∠OBD、∠BOD的度数，在Rt△ODB中,由特殊角所对的直角边与斜边的关系,利用直角三角形的勾股定理即可求解.

记⊙O与△ABC切于点E,连结OE、OB.

∵ 在Rt△ACB中,∠C=90°,∠A=30°

∴ ∠ABC=60° (直角三角形的两个锐角互余)

∵ ∠ABC+∠ABD=180°，∠ABC=60°，

∴ ∠ABD=120°，

∵ AB、BD与⊙O分别相切于点E、D.

∴ OE⊥AB OD⊥BD (过切点及圆心的线段垂直于该切线)

∴ △OEB和△ODB是直角三角形 (两边相互垂直的三角形是直角三角形)

∵ BE、BD是过点B的⊙O的两条切线，

∴ BE=BD (切线长定理)

∵ BE=BD OB=OB

∴ Rt△OEB≌Rt△ODB (HL)

∴ ∠OBE=∠OBD (全等三角形的对应角相等)

∵ ∠ABD=120° ，∠OBE=∠OBD

∴ ∠OBE=∠OBD=60°

∵ ∠ODB=90° ，∠OBD=60°

∴ ∠BOD=30° (直角三角形的两个锐角互余)

∵ ∠ODB=90° ，BOD=30°

∴ BD=×OB (在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)

∵ BD=BD=×OB

∴ OB=2，

∵ ∠ODB=90° ，BD=1，OB=2，

∴ OD=(直角三角形勾股定理求值)

即r=

故选：B.