Question

11．如图，A，B分别在x轴与y轴上，AB=12，∠OAB=30°，将△OAB沿直线ED对折，使点A与点B重合，直线ED分别交y轴、x轴和AB于点C、点D和点E．
（1）OA的长为6$\sqrt{3}$；
（2）求直线CD的解析式；
（3）点P为直线CD上一点，平面内存在点Q，使以O，E，P，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据AB=12，∠OAB=30°，解直角三角形可得OA的长；
（2）设D（t，0），根据勾股定理求得t=2$\sqrt{3}$，进而得到C，D的坐标分别为（0，-6），（2$\sqrt{3}$，0），再运用待定系数法，即可得到直线CD的解析式；
（3）分四种情况进行讨论，分别画出相应的图形，根据菱形的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算，即可得到点Q的坐标．

解答 解：（1）∵AB=12，∠OAB=30°，
∴OA=ABcos∠OAB=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$；
故答案为：6$\sqrt{3}$；

（2）∵AB=12，∠OAB=30°，
∴OB=ABsin∠OAB=12×$\frac{1}{2}$=6，
设D（t，0），则DA=6$\sqrt{3}$-t，
由折叠的性质知BD=DA=6$\sqrt{3}$-t，
∴Rt△BOD中，BD²=OA²+OB²，即（6$\sqrt{3}$-t）²=t²+6²，
解得t=2$\sqrt{3}$，
由对折可知：DE⊥AB，即∠BED=90°，
∴∠BCE=90°-∠OBA=30°，
∴CD=2DO=4$\sqrt{3}$，OC=$\sqrt{C{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{48-12}$=6，
∴C，D的坐标分别为（0，-6），（2$\sqrt{3}$，0），
设CD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{2\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{k=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴CD的解析式为y=$\sqrt{3}$x-6；

（3）分四种情况：
①如图，当四边形OEPQ是菱形时，过Q作QF⊥y轴于F，

此时，∠QOD=∠EDA=60°，
∴∠QOF=30°，
又∵OQ=OE=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴QF=3，OF=3$\sqrt{3}$，
∴Q（3，3$\sqrt{3}$）；
②如图，当四边形OPEQ是菱形时，点Q在BD上，点P与点D重合，过Q作QG⊥y轴于G，

此时，∠QOD=∠EDA=60°，
∴∠QOG=30°，
又∵OQ=OP=2$\sqrt{3}$，
∴QG=$\sqrt{3}$，OG=3，
∴Q（$\sqrt{3}$，3）；
③如图，当四边形OEPQ是菱形时，过Q作QH⊥x轴于H，

此时，∠QOH=∠CDO=60°，
又∵OQ=OE=6，
∴OH=3，QH=3$\sqrt{3}$，
∴Q（-3，-3$\sqrt{3}$）；
④如图，当四边形OEQP是菱形时，点P与点C重合，连接OQ，

由∠OPQ=2∠OPD=60°，OP=QP，可得△OPQ是等边三角形，
∴OQ=OP=6，∠AOQ=90°-60°=30°，
又∵QE⊥AO于K，
∴QK=$\frac{1}{2}$OQ=3，OK=3$\sqrt{3}$，
∴Q（3$\sqrt{3}$，-3）．
综上所述，点Q的坐标为（3，3$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，3），（-3，-3$\sqrt{3}$），（3$\sqrt{3}$，-3）．

点评 本题属于一次函数综合题，主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是运用分类思想，作辅助线构造直角三角形进行计算．解题时注意：菱形的四条边相等，菱形是轴对称图形．