Question

9．如图，O是△ABC的外心，AD是BC边上的高，R是△ABC外接圆的半径．问：
（1）等式AB•AC=2R•AD成立吗？为什么？
（2）对于问题（1），你还能写出另外两种不同的解答过程吗？

Answer 1

分析 （1）作直径AE，连接BE，证明△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质证明结论；
（2）作法一，作OF⊥AB于F，根据垂径定理和圆周角定理证明△AOF∽△ACD即可；作法二，证明△ABH∽△DAC即可．

解答 解：（1）等式AB•AC=2R•AD成立，
证明：作直径AE，连接BE，
∵AB为圆的直径，
∴∠ABE=90°，又AD是BC边上的高，
∴∠ADC=∠ABE，又∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AC}$，
即AB•AC=2R•AD；
（2）证法一，如图2，作OF⊥AB于F，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠AOF=∠C，∠OFA=∠CDA=90°，
∴△AOF∽△ACD，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{AO}{AC}$，
即AB•AC=2R•AD；
证法二，如图3，作直径BH，连接AH，
由（1）得，△ABH∽△DAC，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AH}{AC}$，
即AB•AC=2R•AD．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用圆周角定理和相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．