Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若再添加一个条件，即可证得四边形AEDF为正方形，这个条件是

 

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Answer 1

分析：（1）由于AB=AC，那么∠B=∠C，而DE⊥AC，DF⊥AB可知∠BFD=∠CED=90°，又∵D是BC中点，可知BD=CD，利用AAS可证△BFD≌△CED，从而有DE=DF．
（2）根据正方形的判定方法可知，当△ABC为等腰直角三角形时，四边形AEDF为正方形．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
又∵D是BC中点，AB=AC，
∴BD=CD，
在△BFD与△CED中，

∠BED=∠CFD ∠B=∠C DB=CD

∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．

（2）解：当△ABC为等腰直角三角形时，
则有AE=DE=DF=AF，四边形AEDF为菱形，
又∵∠A=90°，
∴菱形AEDF为正方形．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、垂直定义、等腰三角形三线合一定理、全等三角形的判定和性质．同时要掌握正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．