Question

10．已知二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+3x+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析 根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程$\frac{1}{2}$x²+3x+2=0得A（-3-$\sqrt{5}$，0），B（-3+$\sqrt{5}$，0），再计算自变量为0时的函数值得到D（0，2），把抛物线解析式配成顶点式可得到C（-3，-$\frac{5}{2}$），然后根据三角形面积公式，利用四边形ACBD的面积=S_△ABC+S_△ABD进行计算．

解答 解：当y=0时，$\frac{1}{2}$x²+3x+2=0，解得x₁=-3+$\sqrt{5}$，x₂=-3-$\sqrt{5}$，则A（-3-$\sqrt{5}$，0），B（-3+$\sqrt{5}$，0），
当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x²+3x+2=2，则D（0，2），
y=$\frac{1}{2}$x²+3x+2=$\frac{1}{2}$（x+3）²-$\frac{5}{2}$，则C（-3，-$\frac{5}{2}$），
所以四边形ACBD的面积=S_△ABC+S_△ABD
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2
=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程的问题．也考查了三角形面积公式．