Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=3，CD=8
（1）若AB：AC=2：3，求AD的长；
（2）若∠CAD=2∠BAD，求AD的长．

Answer 1

解：（1）设AB=2x，AC=3x．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AB²-BD²=AC²-CD²=AD²，
∴4x²-3²=9x²-8²
解得，x=或x=-（舍去），
∴AC=3
∴AD=（3）²-8²=35
则AD=；

（2）如图，作∠DAC的平分线交BC于点E，作EF⊥AC于点F．则∠BAD=∠DAE=∠EAF．
易证△ADB≌△ADE≌△AFE，
∴BD=DE=EF=3，AD=AF．
∵EC=CD-DE=5，
∴FC==4，
设AD=AF=y，则在Rt△ACD中，x²+8²=（x+4）²，
解得，x=6，
∴AD=6．
分析：（1）在直角△ABD与直角△ADC中，根据勾股定理知AB²-BD²=AC²-CD²=AD²，据此可以求得AD的长度；
（2）作∠DAC的平分线交BC于点E，作EF⊥AC于点F．易证△ADB≌△ADE≌△AFE，然后根据全等三角形的对应边相等推知BD=DE=EF=3，AD=AF，设AD=AF=y，则在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求得AD的长度．
点评：本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．注意，勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．