Question

已知OA是⊙O的半径，点C在圆上，B是OA中点，BC⊥OA，P是OA延长线上一点，且PA=AC．求证：PC是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：首先连接OC，由B是OA中点，BC⊥OA，可得AC=OC，即可证得△OAC是等边三角形，又由PA=AC，即可证得PC是⊙O的切线．

解答：证明：连接OC，
∵B是OA中点，BC⊥OA，
∴AC=OC，
∵OA=OC，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∵PA=AC，
∴∠P=∠ACP，
∵∠P+∠ACP=∠OAC，
∴∠ACP=30°，
∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=90°，
即OC⊥PC，
∵点C在圆上，
∴PC是⊙O的切线．

点评：此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．