Question

6．如图，一次函数y=ax-b与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于B（0，-4），且OA=AB，△AOB的面积为6．
（1）求两个函数的解析式；
（2）若有一个点M（2，0），直线BM与AO交于点P，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在点E，使S_△ABE=5？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的三线合一得出OD=$\frac{1}{2}$OB=2，再用三角形的面积求出AD=3，即可得出结论；
（2）利用待定系数法求出直线BM的解析式和正比例函数解析式，联立即可得出结论；
（3）利用三角形的面积的差，建立方程求解即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，
作AD⊥OB轴于D，
∵B（0，-4），
∴OB=4，
∵OA=AB，
∴OD=BD=$\frac{1}{2}$OB=2，
∵S_△AOB=6，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AD=$\frac{1}{2}$×4AD=6，
∴AD=3
而点A在第三象限内，则A（-3，-2），
又点A在y=kx上，
∴-2=-3k，∴k=$\frac{2}{3}$，
∴正比例函数解析式为：y=$\frac{2}{3}$x，
又y=ax-b通过A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=-3a-b}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴一次函数解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x-4
（2）由（1）知，正比例函数解析式为：y=$\frac{2}{3}$x①，
∵B（0，-4），M（2，0），
∴直线BM的解析式为y=2x-4②，
联立①②得，点P（3，2），
（3）如图2，
由（1）知，一次函数解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x-4
∴C（-6，0）
∵点E在x轴上，设E（x，0），
∴CE=|x+6|，
∵S_△ABE=5，
S_△ABE=S_△BCE-S_△ACE=$\frac{1}{2}$BE•|yB|-$\frac{1}{2}$BE•|yA|=$\frac{1}{2}$BE•（|yB|-|yA|）=$\frac{1}{2}$•|x+6|•（4-2）=|x+6|=5
∴x=-1或x=-11；
∴E（-1，0）或（-11，0）能够使得△ABE的面积为5．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，解方程，解本题的关键是求出函数解析式，是一道比较简单的题目．