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6.如图,一次函数y=ax-b与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A,与y轴交于B(0,-4),且OA=AB,△AOB的面积为6.
(1)求两个函数的解析式;
(2)若有一个点M(2,0),直线BM与AO交于点P,求点P的坐标;
(3)在x轴上是否存在点E,使S△ABE=5?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (1)利用等腰三角形的三线合一得出OD=$\frac{1}{2}$OB=2,再用三角形的面积求出AD=3,即可得出结论;
(2)利用待定系数法求出直线BM的解析式和正比例函数解析式,联立即可得出结论;
(3)利用三角形的面积的差,建立方程求解即可得出结论.

解答 解:(1)如图1,
作AD⊥OB轴于D,
∵B(0,-4),
∴OB=4,
∵OA=AB,
∴OD=BD=$\frac{1}{2}$OB=2,
∵S△AOB=6,
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AD=$\frac{1}{2}$×4AD=6,
∴AD=3
而点A在第三象限内,则A(-3,-2),
又点A在y=kx上,
∴-2=-3k,∴k=$\frac{2}{3}$,
∴正比例函数解析式为:y=$\frac{2}{3}$x,
又y=ax-b通过A、B,
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=-3a-b}\\{b=4}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴一次函数解析式为:y=-$\frac{2}{3}$x-4
(2)由(1)知,正比例函数解析式为:y=$\frac{2}{3}$x①,
∵B(0,-4),M(2,0),
∴直线BM的解析式为y=2x-4②,
联立①②得,点P(3,2),
(3)如图2,
由(1)知,一次函数解析式为:y=-$\frac{2}{3}$x-4
∴C(-6,0)
∵点E在x轴上,设E(x,0),
∴CE=|x+6|,
∵S△ABE=5,
S△ABE=S△BCE-S△ACE=$\frac{1}{2}$BE•|yB|-$\frac{1}{2}$BE•|yA|=$\frac{1}{2}$BE•(|yB|-|yA|)=$\frac{1}{2}$•|x+6|•(4-2)=|x+6|=5
∴x=-1或x=-11;
∴E(-1,0)或(-11,0)能够使得△ABE的面积为5.

点评 此题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法,三角形的面积公式,解方程,解本题的关键是求出函数解析式,是一道比较简单的题目.

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