Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD、DE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠A+∠CDB=90°，

∴∠ADO+∠CDB=90°，

∴∠ODB=180°﹣90°=90°，

∴OD⊥BD，

∵OD是⊙O半径，

∴直线BD与⊙O相切；

（2）解：∵AE是⊙O直径，

∴∠ADE=90°=∠C，

∴BC∥DE，

∴△ADE∽△ACB，

∴

∵D为AC中点，

∴AD=DC= AC，

∴AE=BE= AB，

DE是△ACB的中位线，

∴AE= AB，DE= BC= ×6=3，

设AD=4a，AE=5a，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE=3a=3，

解得：a=1，

∴AE=5a=5，

答：⊙O的直径是5．

【解析】（1）连接OD、DE，易证∠A=∠ADO，证出∠A+∠CDB=90°，得出∠ADO+∠CDB=90°，可得到OD⊥BD，根据切线的判定定理即可得出结论。
（2）根据圆周角定理得出∠ADE==∠C，从而证得BC∥DE，由平行得三角形相似得出△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，再证明DE是△ACB的中位线，然后根据勾股定理建立方程求出a的值，即可求出圆的直径。
【考点精析】掌握勾股定理的概念和三角形中位线定理是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．