Question

19．如图所示，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点E、F．当∠EAF绕点A旋转到BE=DF时，连接EF．小明发现BE+DF=EF，你同意他的看法吗？说明理由．

Answer 1

分析 连接AC交EF于G，由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，∠BAC=∠DAC=45°，由SAS证明△ABE≌△ADF，得出BE=DF，AE=AF，∠BAE=∠DAF，证出EF垂直平分EF，再证出AE平分∠BAG，由角平分线的性质得出BE=GE=GF，即可得出结论．

解答 解：同意小明的看法；理由如下：
连接AC交EF于G，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，∠BAC=∠DAC=45°，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠B=∠D}&{\;}\\{BE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，AE=AF，∠BAE=∠DAF，
∴点A在EF的垂直平分线上，CE=CF，
∴点C在EF的垂直平分线上，
∴AC垂直平分EF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE=∠DAF=22.5°，
∴∠GAE=∠GAF=22.5°，
∴∠BAE=∠GAE，
即AE平分∠BAG，
∴BE=GE=GF，
∴BE+DF=EF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．