Question

【题目】已知：在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．

（1）如图①，若AB＝1，DG＝2，求BH的长；

（2）如图②，连接AH、GH，求证：AH＝GH且AH⊥GH．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】

（1）先根据勾股定理得出AB，DG，进而求出BF，即可得出结论；

（2）先判断△ABH≌△MFH，进而判断出△ADG≌△MFG．即可判断出△AGM为等腰直角三角形，即可得出结论；

（1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，

∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形．

∵AB＝1，DG＝2，

∴由勾股定理得BD＝，DF＝．

∵B、D、F共线，

∴BF＝．

∵H是BF的中点，

∴BH＝BF＝；

（2）如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM，

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，

∴AB∥EF．

∴∠ABH＝∠MFH．

又∵BH＝FH，∠AHB＝∠MHF，

∴△ABH≌△MFH．

∴AH＝MH，AB＝MF．

∵AB＝AD，

∴AD＝MF．

∵DG＝FG，∠ADG＝∠MFG＝90°，

∴△ADG≌△MFG．

∴∠AGD＝∠MGF，AG＝MG．

又∵∠DGM+∠MGF＝90°，

∴∠AGD+∠DGM＝90°．

∴△AGM为等腰直角三角形．

∵AH＝MH，

∴AH＝GH，AH⊥GH．