Question

【题目】已知：AB∥CD，平面内有一点E，连接AE、CE

（1）如图1，求证：∠E＝∠A+∠C；

（2）如图2，CD上有一点F，连接AF、EF，若∠FAE＝∠FEA，∠EFD＝2∠C，求证：∠AFC＝2∠AEC；

（3）如图3，在（2）的条件下，平面内有一点G，连接AG、CG，若∠GCE与∠GAE互为补角，5∠AFC＝2∠G，求∠G的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠G的度数为150°．

【解析】

（1）过E作EF∥AB，根据平行线的性质，即可得出∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，进而得到∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C；

（2）设∠BAE＝α，∠DCE＝β，由（1）可得，∠AEC＝∠BAE+∠C＝α+β，根据角的和差关系可得，∠BAF＝∠EAF+∠BAE＝α+2β+α＝2（α+β），最后根据∠AFC＝∠BAF＝2（α+β），可得∠AFC＝2∠AEC；

（3）设∠G＝α，根据5∠AFC＝2∠G，可得∠AFC＝α，再根据∠AFC＝2∠AEC，可得∠AEC＝∠AFC＝α，最后根据四边形AECG中，∠GCE与∠GAE互为补角，可得∠G+∠AEC＝180°，据此可得方程α+α＝180°，求得∠G的度数为150°．

（1）如图，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥CD，

∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，

∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C；

（2）设∠BAE＝α，∠DCE＝β，则

由（1）可得，∠AEC＝∠BAE+∠C＝α+β，

∵∠EFD＝2∠C，∠EFD＝∠C+∠CEF，

∴∠C＝∠CEF＝β，

∴∠AEF＝α+2β，

又∵∠FAE＝∠FEA，

∴∠FAE＝α+2β，

∴∠BAF＝∠EAF+∠BAE＝α+2β+α＝2（α+β），

又∵AB∥CD，

∴∠AFC＝∠BAF＝2（α+β），

∴∠AFC＝2∠AEC；

（3）设∠G＝α，

根据5∠AFC＝2∠G，可得∠AFC＝α，

又∵∠AFC＝2∠AEC，

∴∠AEC＝∠AFC＝α，

∵四边形AECG中，∠GCE与∠GAE互为补角，

∴∠G+∠AEC＝180°，

即α+α＝180°，

∴α＝150°，

即∠G的度数为150°．