【题目】如图,点B的坐标是(4,4),作BA⊥x轴于点A,作BC⊥y轴于点C,反比例函数(k>0)的图象经过BC的中点E,与AB交于点F,分别连接OE、CF,OE与CF交于点M,连接AM.
(1)求反比例函数的函数解析式及点F的坐标;
(2)你认为线段OE与CF有何位置关系?请说明你的理由.
(3)求证:AM=AO.
【答案】(1)y=,点F的坐标是(4,2);(2)线段OE与CF的位置关系是OE⊥CF,理由见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)求出E的坐标,求出反比例函数的解析式,把x=4代入即可求出F的坐标;
(2)证△OCE≌△CBF,推出∠COE=∠BCF,求出∠ECF+∠CEO=90°即可;
(3)过M作MN⊥OC于N,证△CMO和△ECO相似,求出CM、OM,根据三角形的面积公式求出MN,根据勾股定理求出ON,得出M的坐标,根据勾股定理求出AM的值即可.
(1)解:∵正方形ABCO,B(4,4),E为BC中点,
∴OA=AB=BC=OC=4,CE=BE=2,F的横坐标是4,
∴E的坐标是(2,4),
把E的坐标代入y=得:k=8,
∴y=,
∵F在双曲线上,
∴把F的横坐标是4代入得:y=2,
∴F(4,2),
答:反比例函数的函数解析式是y=,点F的坐标是(4,2).
(2)线段OE与CF的位置关系是OE⊥CF,
理由是:∵E的坐标是(2,4),点F的坐标是(4,2),
∴AF=4﹣2=2=CE,
∵正方形OABC,
∴OC=BC,∠B=∠BCO=90°,
∵在△OCE和△CBF中
,
∴△OCE≌△CBF,
∴∠COE=∠BCF,
∵∠BCO=90°,
∴∠COE+∠CEO=90°,
∴∠BCF+∠CEO=90°,
∴∠CME=180°﹣90°=90°,
即OE⊥CF.
(3)证明:∵OC=4,CE=2,由勾股定理得:OE=2,
过M作MN⊥OC于N,
∵OE⊥CF,
∴∠CMO=∠OCE=90°,
∵∠COE=∠COE,
∴△CMO∽△ECO,
∴==,
即==,
解得:CM=,OM=,
在△CMO中,由三角形的面积公式得:×OC×MN=×CM×OM,
即4MN=×,
解得:MN=,
在△OMN中,由勾股定理得:ON==,
即M(,),
∵A(4,0),
∴由勾股定理得:AM=4=AO,
即AM=AO.
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【题目】(本题8分)如图,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.
(1)求证:△ABC≌△AED;
(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,的面积是.
求点的坐标;
求过点、、的抛物线的解析式;
在中抛物线的对称轴上是否存在点,使的周长最小?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
在中轴下方的抛物线上是否存在一点,过点作轴的垂线,交直线于点,线段把分成两个三角形,使其中一个三角形面积与四边形面积比为?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1所示的图形,像我们常见的符号——箭号.我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”.
探究:
(1)观察“箭头四角形”,试探究与、、之间的关系,并说明理由;
应用:
(2)请你直接利用以上结论,解决以下两个问题:
①如图2,把一块三角尺放置在上,使三角尺的两条直角边、恰好经过点、,若,则 ;
②如图3,、的2等分线(即角平分线)、相交于点,若,
,求的度数;
拓展:
(3)如图4,,分别是、的2020等分线(),它们的交点从上到下依次为、、、…、.已知,,则 度.
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【题目】(2011山东济南,22,3分)如图1,△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=m,延长CB至点D,使BD=AB.
①求∠D的度数;
②求tan75°的值.
(2)如图2,点M的坐标为(2,0),直线MN与y轴的正半轴交于点N,∠OMN=75°.求直线MN的函数表达式.
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【题目】如图,B、A、F三点在同一直线上,(1)AD∥BC,(2)∠B=∠C,(3)AD平分∠EAC.
请你用其中两个作为条件,另一个作为结论,构造一个真命题,并证明.
己知:______________________________________________________.
求证:______________________________________________________.
证明:
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【题目】小明平时喜欢玩“开心消消乐”游戏,本学期在学校组织的几次数学反馈性测试中,小明的数学成绩如下表:
月份 | (第二年元月) | (第二年2月) | ||||
成绩(分) | ··· | ··· |
(1)以月份为x轴,成绩为y轴,根据上表提供的数据在平面直角坐标系中描点;
(2)观察(1)中所描点的位置关系,猜想与之间的的函数关系,并求出所猜想的函数表达式;
(3)若小明继续沉溺于“开心消消乐“游戏,照这样的发展趋势,请你估计元月(此时)份的考试中小明的数学成绩,并用一句话对小明提出一些建议.
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【题目】如图,BP平分∠ABC,D为BP上一点,E,F分别在BA,BC上,且满足DE=DF,若∠BED=140°,则∠BFD的度数是( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
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