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【题目】四边形ABCD是正方形,MBC边上的一点,ECD边的中点,AE平分∠DAM

(1)求证:AM=AD+MC

(2)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,试判断AM=AD+MC是否成立?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;

【答案】(1)证明见解析;(2)AM=AD+MC仍然成立.

【解析】

1)从平行线和中点这两个条件出发,延长AEBC交于点N,如图11),易证△ADE≌△NCE,从而有AD=CN,只需再证明AM=NM即可.

2)在图21)中,仿照(1)中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立.

(1)证明:延长AEBC交于点N,如图1(1)

∵四边形ABCD是正方形

ADBC

∴∠DAE=ENC

AE平分∠DAM

∴∠DAE=MAE

∴∠ENC=MAE

MA=MN

在△ADE和△NCE中,

∴△ADE≌△NCE(AAS)

AD=NC

MA=MN=NC+MC

=AD+MC

(2)结论AM=AD+MC仍然成立.

证明:延长AEBC交于点P,如图2(1)

∵四边形ABCD是矩形,

ADBC

∴∠DAE=EPC

AE平分∠DAM

∴∠DAE=MAE

∴∠EPC=MAE

MA=MP

在△ADE和△PCE中,

∴△ADE≌△PCE(AAS)

AD=PC

MA=MP=PC+MC

=AD+MC

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