Question

5．如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若CD=2AD，⊙O的直径为10，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据OA=OC推出∠OCA=∠OAC，根据角平分线得出∠OCA=∠OAC=∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；
（2）过O作OM⊥AB于M，得出矩形OMDC，推出OM=CD，OC=AM+AD，设AD=x，则DC=OM=2x，AM=DM-DA=5-x，得出方程5²=（5-x）²+（2x）²，求出x的值即可求出AB的长．

解答 （1）证明：连接OC．
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC=∠OCD=90°，
即 CD⊥OC，点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：过O作OM⊥AB于M．
即∠OMA=90°，
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，
∴四边形DMOC是矩形，
∴OC=DM，OM=CD．
∵CD=2AD，
∴设AD=x，则DC=OM=2x，AM=DM-DA=5-x，
∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根据勾股定理得：AO²=AM²+OM²．
∴5²=（5-x）²+（2x）²，
解得 x₁=0（不合题意，舍去），x₂=2．
则 AM=DM-DA=5-x=3，
∵OM⊥AB，
∴AB=2AM=6．

点评 本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理、垂径定理、切线的判定、平行线的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，用了方程思想．