Question

7．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c经过B点，且顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，若M点是CD所在指向下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N，设点M的横坐标为t，MN的长度为L，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标；
（3）△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，当四边形ABCD是菱形时，连接BD，点P在抛物线上，若△PBD是以BD为直角边的直角三角形，请求出此时P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点所在的直线列式求出b的值，再把点B的坐标代入抛物线解析式求出c的值，即可得解；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据平行线间的距离相等以及三角形的面积可知当过点M平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时，点M到CD的距离最大此时MN的值最大，把抛物线与直线的解析式联立消掉未知数y，利用根的判别式列式计算即可得解；
（3）分两种情形讨论即可①当B为Rt△PBD 直角顶点时，直线PB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4，②当D为Rt△PBD 直角顶点时，直线PD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1，分别列出方程组求交点坐标；

解答 解：（1）∵抛物线顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上，
∴-$\frac{b}{2a}$=$\frac{5}{2}$，
解得b=-$\frac{10}{3}$，
∵抛物线y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c经过点B（0，4），
∴c=4，
∴抛物线对应的函数关系式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+4；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 $\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以，直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4，
当过点M平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时，点M到CD的距离最大，此时MN的值最大，
此时，设过点M的直线解析式为y=$\frac{4}{3}$x+m，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+m}\\{y=\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{10}{3}x+4}\end{array}\right.$，
消掉y得，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+4=$\frac{4}{3}$x+m，
整理得，2x²-14x+12-3m=0，
△=b²-4ac=（-14）²-4×2×（12-3m）=0，
解得m=-$\frac{25}{6}$，
此时，x=-$\frac{-14}{2×2}$=$\frac{7}{2}$，
y=$\frac{4}{3}$×$\frac{7}{2}$-$\frac{25}{6}$=$\frac{1}{2}$，
所以，点M（ $\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$）使MN的值最大．

（3）四边形ABCD是菱形时，点C、D在该抛物线上．
理由如下：∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=5，
∴D（2，0），
∴直线BD的解析式为y=-2x+4，
①当B为Rt△PBD 直角顶点时，直线PB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+4}\\{y=\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{10}{3}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{23}{4}}\\{y=\frac{55}{8}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{23}{4}$，$\frac{55}{8}$）．
②当D为Rt△PBD 直角顶点时，直线PD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-1}\\{y=\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{10}{3}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{4}}\\{y=\frac{7}{8}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{15}{4}$，$\frac{7}{8}$），
综上所述，满足条件的点P坐标为（$\frac{23}{4}$，$\frac{55}{8}$）或（$\frac{15}{4}$，$\frac{7}{8}$）．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴解析式，二次函数图象上点的坐标特征，菱形的四条边都相等的性质，平行直线的解析式的k值相等，三角形的面积，联立两函数解析式求交点坐标，难点在于（2）根据相似三角形的性质判断出过点M与AB平行的直线只有一个交点时MN的值最大．