Question

6．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，先利用切线的性质得OC⊥CE，加上AD⊥CE，则可判断OC∥AD，根据平行线的性质得∠1=∠3，由于∠2=∠3，则∠1=∠2；
（2）由AB=4，B为OE的中点得到OC=OB=BE=2，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△OCE中得到∠E=30°，则∠COE=60°，然后在Rt△OCF中根据含30度的直角三角形三边的关系求解．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵直线CE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CE，
∵AD⊥CE，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；

（2）解：∵AB=4，B为OE的中点，
∴OC=2，OB=BE=2，
在Rt△OCE中，∵OC=$\frac{1}{2}$OE，
∴∠E=30°，
∴∠COE=60°，
在Rt△OCF中，
∵∠OCF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OC=1，
CF=$\sqrt{3}$OF=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形．