Question

【题目】问题发现：

(1)如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝kAC(k＞1)，D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为　 　．

类比探究

(2)如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a(0°＜a＜90°)，连接CE，BD，请问(1)中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由

拓展延伸：

(3)如图3，在(2)的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a(a＞90°)．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB＝，则当∠ACE＝15°时，BFCF的值为_____．

Answer 1

【答案】(1)BD＝kEC；(2)成立，理由见解析；(3)1或2.

【解析】

问题发现：（1）由平行线分线段成比例可得，即可得BD＝kEC；

类比探究：（2）通过证明△ABD∽△ACE，可得＝k，即可得BD＝kEC；

拓展延伸：（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，即可证∠BFC＝90°，由直角三角形的性质和勾股定理可求BFCF的值．

问题发现：

(1)∵DE∥BC，

∴，

∵AB＝kAC，

∴BD＝kEC，

故答案为：BD＝kEC；

类比探究：

(2)成立，

理由如下：连接BD

由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE

∵，

∴△ABD∽△ACE，

∴＝k，

故BD＝kEC；

拓展延伸：

(3)BFCF的值为2或1；

由旋转的性质可知∠BAD＝∠CAE

∵，

∴△ABD∽△ACE

∴∠ACE＝15°＝∠ABD

∵∠ABC+∠ACB＝90°

∴∠FBC+∠FCB＝90°

∴∠BFC＝90°

∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝，

∴tan∠ABC＝，

∴∠ABC＝30°

∴∠ACB＝60°

分两种情况

①如图2，

∴在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AC＝1，

∴BC＝2AC＝2，

∵在Rt△BFC中，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2

∴BF＝CF＝

∴BFCF＝()2＝2

②如图3，

设CF＝a，在BF上取点G，使∠BCG＝15°

∵∠BCF＝60°+15°＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝30°﹣15°＝15°，

∴∠CFB＝90°

∴∠GCF＝60°

∴CG＝BG＝2a，GF＝a．

∵CF2+BF2＝BC2

∴a2+(2a+a） 2＝22，

解得a2＝2﹣，

∴BFCF＝(2+)aa＝(2+)a2＝1，

即：BFCF＝1或2．

故答案为：1或2．