Question

7．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，给出五个结论：①∠CAD=∠CBD；②S_△DBC=S_△AEC；③∠ADC=45°；④AC+CE=AB；⑤CE=2MC，其中正确的结论有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 先判断出点A，B，D，C四点共圆即可得出①正确，用等腰直角三角形的性质和同弧所对的圆周角相等得出③正确，利用角平分线的性质定理和全等三角形的性质即可得出结论④正确，先求出∠BCD=∠CBD=22.5°，再判断出点C，E，D，G四点共圆，得出CG=CE，进而判断出CG=2CM，即可得出⑤正确，用三角形的面积公式和直角三角形的斜边大于直角边即可判断出②错误．

解答 解：如图，以AB为直径作圆，
∵∠ACB=90°，BD⊥AE于D，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A，B，D，C是以AB为直径的圆上，
∴∠CAD=∠CBD（同圆中，同弧所对的圆周角相等）
所以①正确；
在Rt△ABC中，AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
所以③正确；
过点E作EF⊥AB，
∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，
∴CE=EF，
在Rt△BEF中，∠EBF=45°，
∴EF=FB，
∴CE=FB，
在Rt△AEC和Rt△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=EF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEC≌Rt△AEF，
∴AC=AF，
∴AB=AF+BF=AC+CE，
所以④正确；
∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠CAE=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∴∠BCD=∠CBD=∠BAD=22.5°，
延长BD，AC相交于点G，
∵∠GCE=∠GDE=90°，
∴∠GCE+∠GDE=180°，
∴点C，E，D，G是以EG为直径的圆上，
连接EG，
在△ABG中，∠AGB=180°-∠BAC-∠ABC-∠CBD=67.5°，
∵∠DGE=∠DCE=22.5°，
∴∠AGE=∠AGD-∠DGE=45°，
在Rt△ECG中，∠AGE=45°，
∴CG=CE，
在△BAG中，AE平分∠BAG，AE⊥BG，
∴BD=GD，
∵BD=CD，
∴CD=GD，
∵DM⊥CG，
∴CG=2CM，
∴CE=2CM，
所以⑤正确；
∵CD是Rt△BCG的斜边的中线，
∴S_△BCD=S_△CDG=$\frac{1}{2}$CG×DM=$\frac{1}{2}$CE×DM
∵BC＞CD＞DM，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CE×DM＜$\frac{1}{2}$CE×BC，
∵S_△ACE=$\frac{1}{2}$AC×CE=$\frac{1}{2}$BC×CE，
∴S_△BCD＜S_△ACE，
所以②错误，
∴正确的又①③④⑤四个，
故选C．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了四点共圆的判断，圆的性质，圆周角的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是判断出四点共圆，是一道比较麻烦的压轴题，难点是判断CE=2CM．