Question

如图，正方形ABCD中，∠DAC的平分线交DC于点E．若P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ能取到的最小值为4

2

时，此正方形的边长为（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

Answer 1

分析：过D做DF垂直AE，延长交AD于D，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值，再根据等腰直角三角形的性质求出正方形的边长．

解答：解：过D做DF垂直AE，延长交AD于D，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵∠DAC的平分线交DC于点E，
∴∠DAE=∠CAE，
在△DAF与△D′AF中，
∵

∠AFD=∠AFD′ AF=AF ∠DAE=∠CAE

，
∴△DAF≌△D′AF（ASA），
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′=4

2

，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′²+AP′²=AD′²，AD′²=64，
∴AD′=8．
故选D．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．