如图1.已知二次函数的图象与x轴交于A.B两点(B在A的左侧).顶点为C. 点D(1.m)在此二次函数图象的对称轴上.过点D作y轴的垂线.交对称轴右侧的抛物线于E点． (1)求此二次函数的解析式和点C的坐标, (2)当点D的坐标为(1.1)时.连接BD.．求证:平分, (3)点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限.若以A.C.G为顶点的三角形与以G.D.E为顶点的三角形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧)，顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点．

（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；

（2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、．求证：平分；

（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标．

解：（1）∵点D（1，m）在图象的对称轴上，

∴．

∴二次函数的解析式为．

∴C（1，-4）．

（2）∵D（1，1），且DE垂直于y轴，

∴点E的纵坐标为1，DE平行于x轴．

∴．

令，则，解得．

∵点E位于对称轴右侧，

∴E．

∴D E =．

令，则，求得点A的坐标为（3,0），点B的坐标为（-1,0）．

∴BD =．

∴BD = D E．

∴ ．

∴平分．

（3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，

且△GDE为直角三角形，

∴△ACG为直角三角形．

∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限，

∴．

∵A（3,0）C（1，-4），,

∴求得G点坐标为（1，1）．

∴AG=，AC=．

∴AC=2 AG.

∴GD=2 DE或 DE =2 GD.

设（t >1），

.当点D在点G的上方时，则DE=t -1，

GD = ()=.

i. 如图2，当 GD=2 DE时，

则有， = 2(t-1).

解得，.(舍负)

ii. 如图3，当DE =2GD时，

则有，t -1=2().

解得，.(舍负)

. 当点D在点G的下方时，则DE=t -1，

GD=1- ()= -.

i. 如图4，当 GD=2 DE时，

则有， =2（t -1）.

解得，.(舍负) ii. 如图5，当DE =2 GD时，

则有，t-1=2（）.

解得，.(舍负) …

综上，E点的横坐标为或或或.

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