Question

7．如图，在?ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC=∠DCE．
（1）求证：∠D=∠F；
（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写作法）．

Answer 1

分析 （1）BF交AD于G，先利用AD∥BC得到∠FBC=∠FGE，加上∠FBC=∠DCE，所以∠FGE=∠DCE，然后根据三角形内角和定理易得∠D=∠F；
（2）分别作BC和BF的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O为圆心，OC为半径作△BCF的外接圆⊙O，⊙O交AD于P，连结BP、CP，则根据圆周角定理得到∠F=∠BPC，而∠F=∠D，所以∠D=∠BPC，接着可证明∠PCD=∠APB=∠PBC，于是可判断△BPC∽△CDP．

解答 （1）证明：BF交AD于G，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FBC=∠FGE，
而∠FBC=∠DCE，
∴∠FGE=∠DCE，
∵∠GEF=∠DEC，
∴∠D=∠F；
（2）解：如图，点P为所作．

点评 本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．也考查了平行四边形的性质．解决（2）小题的关键是利用圆周角定理作∠BPC=∠F．