Question

14．将矩形ABCD沿EF折叠，使点B与CD边中点B′重合，A′B′交AD于点G，若AE=1，AB=2，BC=3，下面有4个结论中，正确的个数是（　　）
①△A′EG≌△DB′G；②B′F=$\frac{5}{3}$；③S_△FCB′：S_△B′DG=16：9；④S_{四边形EGB′F}=$\frac{50}{24}$．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由折叠的性质得到A′E=AE=1根据已知条件得到DB′=EA′=B′C=1，根据全等三角形的判定定理得到△A′EG≌△DB′G，故①正确，设B′F=BF=x，于是得到FC=BC-BF=3-x，根据勾股定理得到B′F=$\frac{5}{3}$，故②正确，根据勾股定理得到A′G=$\frac{3}{4}$，根据三角形的面积公式得到S_△FCB′：S_△B′DG=$\frac{2}{3}$：$\frac{3}{8}$=16：9，故③正确，
根据图形的面积公式刚刚S_{四边形EGB′F}=S_{四边形A′B′FE}-S_△A′EG=S_{四边形ABFE}-S_△A′EG=$\frac{1}{2}$（AE+BF）•AB-$\frac{1}{2}$A′G•AE=$\frac{55}{24}$，故④错误．

解答 解：由折叠的性质得到A′E=AE=1，
∵CD=AB=2，B′是CD的中点，
∴DB′=EA′=B′C=1，
在△A′EG和△DB′G中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A′GE=∠DGB′}\\{∠A′=∠D=90°}\\{EA′=DB′}\end{array}\right.$，
∴△A′EG≌△DB′G，∴①正确，
设B′F=BF=x，
∴FC=BC-BF=3-x，
在Rt△B′CF中，B′F²=FC²+B′C²，
即x²=（3-x）²+1²，
解得：x=$\frac{5}{3}$，
即B′F=$\frac{5}{3}$，∴②正确，
∵BF=B′F=$\frac{5}{3}$，
∴FC=BC-BF=3-$\frac{5}{3}$=$\frac{4}{3}$，
由①知，①△A′EG≌△DB′G，
∴A′G=DG，EG=GB′=AB-A′G=2-A′G，
在Rt△A′GD中，A′G²+A′E²=EG²，即A′G²+1²=（2-A′G）²，
解得：A′G=$\frac{3}{4}$，
S_△FCB′=$\frac{1}{2}$FC•B′C=$\frac{2}{3}$，S_△B′DG=$\frac{1}{2}$DG•DB′=$\frac{3}{8}$，
∴S_△FCB′：S_△B′DG=$\frac{2}{3}$：$\frac{3}{8}$=16：9，∴③正确，
S_{四边形EGB′F}=S_{四边形A′B′FE}-S_△A′EG=S_{四边形ABFE}-S_△A′EG=$\frac{1}{2}$（AE+BF）•AB-$\frac{1}{2}$A′G•AE=$\frac{55}{24}$，∴④错误，
故选C．

点评 本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，勾股定理，图形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．