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    8．已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CD，CG⊥AD于点H，交AB于点G，E为AB上一点，连接CE交AD于点F．
    （1）如图1，若CE⊥AB于点E，HG=1，CH=5，求CF的长；
    （2）如图2，若AC=AE，∠GEH=∠ECH，求证：CE=$2\sqrt{2}$HE；
    （3）如图3，若E为AB的中点，作A关于CE的对称点A′，连接CA′，EA′，DA′，请直接写出∠CEH，∠A′CD，∠EA′D之间的等量关系．

    分析 （1）关键已知条件推出△ACD是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得到∠CAD=∠CDA=45°通过全等三角形得到HF=HG=1，由勾股定理得到结论；
    （2）如图2，过H作MH⊥EH，交CE于M，连接AM，由已知条件得到△EHM为等腰直角三角形，∠EHM=90°，于是得到EH=MH，EM=$\sqrt{2}$HE，关键全等三角形的性质得到∠MAF=∠ECH证得△ACE是等腰三角形于是得到结论；
    （3）关键三角形的中位线的性质得到EH∥BC，根据轴对称的性质得到∠CA′E=∠CAE=90°-∠CEH，CA=CA′，根据三角形的内角和得到∠A′CD+90°-∠CEH+∠EA′D+90°-∠CEH+∠EA′D=180°，即可得到结论．

    解答 解：（1）∵∠ACB=90°，CA=CD，
    ∴△ACD是等腰直角三角形，
    ∴∠CAD=∠CDA=45°，
    ∵CG⊥AD，
    ∴∠CHF=∠AHG=90°，∠ACH=∠DCH=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，AH=DH=CH=5，
    ∴∠GAH+∠AGC=90°，
    ∵CE⊥AB，
    ∴∠CEG=90°，
    ∴∠GCE+∠AGC=90°，
    ∴∠GCE=∠GAH，
    在△CHF与△AHG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GCE=∠GAH}\\{CH=AH}\\{∠CHF=∠AHG=90°}\end{array}\right.$，
    ∴△CHF≌△AHG，
    ∴HF=HG=1，
    ∴CF=$\sqrt{C{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$；

    （2）如图2，过H作MH⊥EH，交CE于M，连接AM，
    ∵AC=AE，
    ∴∠AEC=∠ACE，
    ∵∠GEH=∠ECG，
    ∵MH⊥EH，
    ∴△EHM为等腰直角三角形，∠EHM=90°，
    ∴EH=MH，EM=$\sqrt{2}$HE，
    ∴∠AHM=∠AHC+∠CHM=90°+∠CHM=∠EHM+∠CHM=∠CHE，
    在△AHM与△CHE中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=CH}\\{∠AHM=∠CHE}\\{MH=EH}\end{array}\right.$，
    ∴△AHM≌△CHE，
    ∴∠MAF=∠ECH，
    ∴∠MAF+∠AFC=∠ECH+∠AFC=180°，
    ∴∠CHD=180°-90°，
    ∴AM⊥CE，
    ∵AC=AE，
    ∴△ACE是等腰三角形，
    ∴CM=EM=$\sqrt{2}$HE，
    ∴CE=2EM=2$\sqrt{2}$HE；

    （3）∵H为AD的中点，E为AB的中点，
    ∴EH是△ABD的中位线，
    ∴EH∥BC，
    ∴∠CEH=∠BCE，
    ∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=90°-∠BCE=90°-∠CEH，
    ∵EC=AE，
    ∴∠CAE=∠ACE=90°-∠CEH，
    ∴∠CAE=∠ACE=90°-∠CEH，
    ∵A关于CE的对称点A′，
    ∴∠CA′E=∠CAE=90°-∠CEH，CA=CA′，
    ∵CA=CD，
    ∴CA′=CD，
    ∴∠CDA′=∠CA′D=∠CA′E+∠EA′D=90°-∠CEH+∠EA′D，
    ∵∠A′CD+∠CDA′+∠CA′D=180°，
    ∴∠A′CD+90°-∠CEH+∠EA′D+90°-∠CEH+∠EA′D=180°，
    化简得：∠A′CD+2∠EA′D=2∠CEH，

    点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线构造全等三角形是解决（2）的关键．

    练习册系列答案
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    （1）当t=2时，PQ=$\sqrt{3}$；
    （2）求点P、Q从出发到相遇所用的时间；
    （3）当t取何值时，△APQ是等边三角形；请说明理由；
    （4）当P在线段AC上运动时，是否存在t使△APQ是直角三角形？若存在请直接写出t的值或t的取值范围，若不存在，请说明理由．

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    ②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
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