Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E。 连接AD、DE，若CF=2，AF=3。给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4 其中正确的是（ ）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用垂径定理可知，然后得到∠ADF＝∠AED，结合公共角可证明△ADF∽△AED；②结合CF＝2，且，可求得DF＝6，且CG＝DG，可求得FG＝2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tan∠ADG＝，由∠E＝∠ADG，可得tan∠E；④可先求得△ADF与△AED的相似比，再求S△ADF，进而求出S△ADE，然后由S△DEF＝S△AED－S△ADF得出结果.

解：①∵AB为直径，AB⊥CD，

∴，

∴∠ADF＝∠AED，且∠FAD＝∠DAE，

∴△ADF∽△AED，故①正确；

②∵AB为直径，AB⊥CD，

∴CG＝DG，

∵，且CF＝2，

∴FD＝6，

∴CD＝8，

∴CG＝4，

∴FG＝CGCF＝42＝2，故②正确；

③在Rt△AGF中，AF＝3，FG＝2，

∴AG＝，

∴tan∠ADG＝，

∵∠E＝∠ADG，

∴tan∠E＝，故③错误；

④在Rt△ADG中，AG＝，DG＝4，

∴AD＝，

∴，

∴，

∵，

∴S△AED＝，

∴S△DEF＝S△AED－S△ADF＝－＝，故④错误；

故选：A．